Πέμπτη, 6 Μαΐου 2010

Θέματα Βαλκανικής Μαθηματικής Ολυμπιάδας.

1) Αν οι a,b,c είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι:

\displaystyle\frac{a^2b(b-c)}{a+b}+\frac{b^2c(c-a)}{b+c}+\frac{c^2a(a-b)}{c+a}\geq 0

2) Έστω ABC ένα οξυγώνιο τρίγωνο με ορθόκεντρο H και έστω M το μέσο της AC. Η κάθετη από το σημείο C προς την AB την τέμνει στο σημείο C_1 και έστω H_1 το συμμετρικό του H ως προς την AB. Οι προβολές του H πάνω στις AH_1, AC και BC είναι τα σημεία P,Q,R αντίστοιχα. Αν M_1 είναι ένα σημείο ώστε το περίκεντρο του τριγώνου PQR να είναι το μέσο του τμήματος MM_1 να αποδείξετε ότι το M_1 βρίσκεται επί της ευθείας BH_1.

3) Ονομάζουμε λωρίδα πλάτους w το σύνολο των σημείων που βρίσκονται ανάμεσα ή πάνω σε δύο παράλληλες ευθείες που απέχουν απόσταση w. Έστω S ένα σύνολο από n σημεία (n\geq 3) στο επίπεδο που είναι τέτοιο ώστε οποιαδήποτε 3 διαφορετικά σημεία του συνόλου S να μπορούν να καλυφθούν από μία λωρίδα πλάτους 1. Να αποδείξετε ότι τα σημεία του συνόλου S μπορούν να καλυφθούν από μία λωρίδα πάχους 2.

4) Για οποιοδήποτε ακέραιο n (n\geq 2), συμβολίζουμε με f(n) το άθροισμα όλων των θετικών ακεραίων που ο καθένας είναι ίσος το πολύ με n και δεν είναι πρώτος προς το n. Να αποδείξετε ότι f(n+p)\neq f(n) για οποιοδήποτε αριθμό n και οποιοδήποτε πρώτο p.


Από τον δικτυακό τόπο mathematica.gr

Υλη Μαθηματικών για τις εξετάσεις Ιουνίου του σχολείου μας

Ορίζεται η εξεταστέα ύλη στα Μαθηματικά της Γ΄ Τάξης για τις εξετάσεις Μαίου-Ιουνίου του σχολείου μας ως εξής:



Άλγεβρα

Κεφάλαιο 1. Να διαβαστεί όλο εκτός των παραγράφων 1.1 και 1.7 (αυτές οι δυό παράγραφοι είναι εκτός ύλης).

Κεφάλαιο 2. Να διαβαστούν οι παράγραφοι 2.2, 2.4, 2.5 ( Α και Β )

Κεφάλαιο 3. Να διαβαστούν οι παράγραφοι 3.2 και 3.3



Γεωμετρία

Κεφάλαιο 1. Να διαβαστούν οι παράγραφοι 1.1, 1.2, 1.3, 1.5( μόνο το Β)

Κεφάλαιο 2. Να διαβαστούν οι παράγραφοι 2.1, 2.2, 2.3